研究の動機

　「うずまき形」に興味をもった。蚊とり線香の燃え方との関連があるのではと思った。そこから、蚊とり線香でタイマーが作れるのではないかと思った。

ステップ１：準備

（1）うずまきの長さを計算する

　蚊とり線香はうずまき形だ。円ではないので、外側から内側に１周すると、数センチずれてしまう。直線にできないので、面積からおおよその長さを計算する。

《方法》

蚊取り線香は２巻き一組なので、一番外側どうしを結んだ最長の直径12㎝（半径６㎝）の大円と、半周分少ない最短直径11㎝（半径5.5㎝）の小円の面積を求める。１巻き分の面積を求めるために各円の面積を２で割り、さらに線香の幅（0.6㎝）で割ることで１巻き分の長さが得られる。この２つの長さを足して２で割ったもの（平均値）が、線香１巻きの計算上の長さだ。

《計算》

大円の線香の長さ：６×６×π÷２÷0.6＝94.2㎝、小円の線香の長さ：5.5×5.5×π÷２÷0.6＝79.2㎝。計算上の長さは（94.2＋79.2）÷２＝86.7㎝。

（2） 実測する

蚊とり線香（１巻き）の外側にミシン糸を巻き、その糸の長さを測る。線香の内側に巻くのは大変なので、組になっているもう片方の線香の外側を測る。外側と内側の長さの平均値が、蚊とり線香（幅の中心線）の長さだ。

《結果》

外側88.6㎝、内側66㎝、平均値77.3㎝。

《考察》

外側の実測88.6㎝に（１）の計算結果（86.7㎝）が近かったのは、２つの円の直径を外側で測って計算したからだ。実測と計算との差は、線香の中心部の太さ（幅のふくらみ）にある。計算ではふくらみを考えず、幅すべてを0.6㎝とした。しかし線香はすべてが同じ長さではなく、製品にむらがある。

（3）外側を5㎝間隔で区切る方法

燃え方との関連性から、蚊とり線香を均等に分ける作業は必要だ。最も簡単なのは外側の長さをそろえることだ。

《方法》

ミシン糸に５㎝間隔で印をつける。先端部の斜めカットの終了点から５㎝ごとに区切りを入れ、中心部の太くなる手前でストップする。16パーツができた。

ステップ２：データ収集

（1）実際に燃やして時間を計る

16パーツを漢字表記で一～十六に分ける。先端の斜めカット部分に着火し、Ａ地点から計測を始め、各パーツが燃える時間を計る。蚊とり線香はｆ社、ｋ社のものを使い、２回ずつ燃焼実験を行う。

《結果》

各パーツの燃える時間は一定ではなく、約20分～22分の間にあった。ｆ社と比べ、ｋ社のものは徐々に燃焼時間が短くなる傾向が見られた。今後の実験はｋ社のもので行う。

《結論》

蚊とり線香の外側の長さをそろえても、燃える時間は一定にならない。

（2）重さを量る

線香を（１）と同様に５㎝間隔で区切り、16パーツそれぞれの重さを電子てんびんで量る。

《結果》

重さは0.642g～0.826gの間を示した。16パーツの前半よりも後半のものが軽そうだ。パーツ十五、十六はとくに軽い。

《結論》

蚊とり線香は中心に行くほど軽くなる。

ステップ３：発展実験

（1）重さをそろえて燃やす

線香の外側から内側へ、１周ずつ適当な大きさの４個のパーツを切り取る。電子てんびんで量って削りながら、４個すべてを重さ 1.00gにあわせる。それらを同時に着火し、燃焼時間を計った。

《結果》

３回の実験で、燃焼時間は20分50秒～31分５秒の間だった。蚊とり線香の中心部に近いパーツほど、燃焼時間は長くなった。

（2）内側の長さをそろえて燃やす

内側の長さを４㎝にそろえた線香の４パーツを同時着火した。

《結果》

３回の実験で、燃焼時間は24分９秒から31分２秒の間だった。内側の長さをそろえたので、中心に近いパーツほど重い。燃える時間も中心に近いパーツほど長かった。

（3）外側の長さをそろえて燃やす

外側だけを長さ４㎝にそろえたパーツを、同時着火した。

《結果》

中心に近いパーツほど燃える時間は短かった。４本のパーツの重さは、中心に近くなるほど軽い。

【実験結果のまとめ】

　肝心なのは②と④の性質だ。重さをそろえているのに燃える時間が中心に行くにほど長くなるのは、線香のカーブの角度が燃えるスピードの妨げになっているからだ。しかし、線香の外側の長さをそろえると、今度は中心に行くほど燃える時間が短くなる。さらに外側の長さをそろえてカットすると、中心に行くほど軽くなる。つまり、外側の長さをそろえて燃やした時に中心に行くほど時間が短くなるのは、カーブの角度による燃える時間への影響力よりも、重さによる影響力の方が勝っているからだ。
　線香の燃える時間に関連しそうな要素（外側の長さ、内側の長さ、重さ）につい て調べたが、「これを一定にすれば、燃える時間も一定になる」というものはな かった。

ステップ４：数学的な分析

蚊とり線香の形について調べる。

（1）面積（S）を表す式を求める

うずまきを円とみなして公式を立てる。大きい扇形の面積から小さい扇形の面積を引く。大きい扇形（半径r、線香の外側の長さＬ、内側の長さl、幅d）、小さい扇形（半径r－d）

大きい扇形の面積：

小さい扇形の面積：

面積（S）＝

これにL=５㎝、r=６㎝、d=0.6㎝を入れると S＝2.85㎠。

（2）うずまきの巻数と半径rの関係

うずまきが１周（１巻き）すると、半径はどれだけ小さくなるかを調べる。外側先端を起点（角度0°）に90°、180°、270°地点での１周ごとの半径を測る。線香３巻きの半径の減少はいずれも１次関数（直線）となった。３巻きで直線が一致しないのは製品むらだ。

（3）線香の外側の長さ（L）と内側の長さ（l）の関係

線香の中心に近づくに従い、Ｌとlの差は大きくなる。Ｌに対するlの割合が100％の場合は長方形、0％になると扇形だ。

（4）Lまたはlを表す式を求める

Ｌとlの角度は同じだ。

つまり

だ。

lについて解けば 、

、rを限りなく大きく（線香の外側に行くほど）

は0に近づきl=L（つまり長方形）になる。

Ｌについて解けば

となる。

ステップ５：蚊とり線香タイマー

「蚊とり線香タイマー」とは、燃える時間が同じになる「区切り」を見つけることだ。これまでＬ、l、重さをそれぞれに一定にする「区切り」で実験したが、燃える時間が一定になることはなかった。燃える時間を一定にするには、前記②と④の性質をふまえながら、Ｌと重さを微調整するしかない。
　そこで「重さをそろえること」＝「面積をそろえること」と考え、Ｌ＝５㎝の16 パーツの実験で、燃焼時間が20分台と安定していた「パーツ五」（半径ｒ=5㎝） の面積（2.82㎠）に一致

するように、「パーツ一～十六（五は除く）」の各Ｌを、

の式から求めた。

今後の課題

　観察中に、線香が燃えている切断面が常に中心に向いていることに気づいた。外側か内側かが、一方に合わせて燃えていると考えられる。重要なことなので調べてみたい。