研究の動機

　小学２年生の時、天竜川の岩石の標本を作って以来、60種類の鉱物を採集してきた。中学１年の数学で『オイラーの多面体の定理』を知った。「多面体の辺の数は、頂点の数と面の数を足して２を引いた数に等しい」という。鉱物の結晶にも適用できるのか、多面体の特徴や関係性について研究し、定理との関係を探る。

鉱物標本の分類と観察

◇ガーネットにおける多面体

　ガーネット（ザクロ石）は長野県和田峠の「満ばんザクロ石」、愛知県田口鉱山の「スペサルチン」、岐阜県洞戸鉱山の「灰ばんザクロ石」を採集した。満ばんザクロ石（９点）は１つの四角形を四角形や五角形、六角形が取り囲む構造だ。「スペサルチン」（１点）は18面体だ。

◇水晶における多面体

　山梨県の塩山・竹森、長野県和田峠付近、岐阜県ちんの峠、愛知県延坂、吉村、振草で採集した水晶標本33点を分類した。六角柱状の結晶のほか変形水晶や板状水晶、平行連晶、成長の回転方向が異なる左水晶・右水晶などがある。

◇黄鉄鉱における多面体

　長野県和田で採集した黄鉄鉱５点、愛知県振草の６点を観察した。結晶面に三角形や四角形、五角形などが見られる。隣接面として長野県産は三角形、愛知県産は正三角形や正四角形などの“正○角形”を含む組み合わせが多い。多面体の頂点が“欠けた”結晶も見られる。

《仮説》

結晶は成長する。「立方体が完全形（最終形態）」とすると、標本に見られる“頂点の欠けた結晶形”はその手前の状態だ。さらにその前の結晶形も存在するはずだ。

【実験１】仮説の検証

　結晶としての立方体（正六面体）は、８つの頂点が欠けてできた正三角形（角を切り落とした時の切り口）がそれぞれ、結晶の成長とともに小さくなり、各頂点となったものだ。逆に、各頂点の切り口（正三角形）を大きくしながら、前段階の結晶形を追究する。

《方法》

立方体のスチロール（５㎝×５㎝×５㎝）の８角（頂点）を、各辺の1/4、2/4、3/4、4/4の位置を結んだ線で切り取る（切頂）。できた立体の辺や頂点、面の数などを調べる。体積や表面積もできる限り計算する。

《結果》

　右から元の「立方体」、辺の長さ1/4、2/4、3/4、4/4でそれぞれ切り取った「切頂立方体」「立方八面体」「切頂八面体」「正八面体」。

　上の写真の各立体の面が、左の立体になるにつれて縮小し、最後の正八面体では点（頂点）になっている（面から点に変化している）ことが分かる。

《分かったこと》

●立方体と正八面体では、辺の数は同じ12だが、頂点の数と面の数が入れ替わっている。これは、立方体の“面の中心”を通る線で切ったのが正八面体であり、立方体の面の数は正八面体では頂点の数、立方体の頂点の数は正八面体の面の数となるからだ。
●切頂立方体と切頂八面体は、辺・頂点・面の数が同じだ。
●立方八面体の辺・頂点の数は、切頂立方体と切頂八面体よりもそれぞれ12少ない。これは、切頂によってできた正三角形が、立方八面体になって互いに接し、頂点が重複したほか、元の立方体の辺が消滅したからだ。
●切頂八面体の体積は、立方体の体積の1/2だ。
●正八面体の体積は、立方体の体積の1/6だ。（上の表では計算誤差がある）
●立方八面体を作る時に切り取った８つのパーツ（三角錐）を組み合わせると正八面体になる。表の正八面体と同じ体積だ。ならば、正八面体を切り出した時のパーツを組み合わせれば、立方八面体になるかもしれない。
●今回の全ての多面体は、
辺の数（E）＝頂点の数（V）+面の数（F）−２
が成り立ち、「オイラーの多面体の定理」が当てはまる。

《鉱物との関係》

●立方八面体は、正方形と三角形からなる多面体で、愛知県振草鉱山の黄鉄鉱と同じだ。
●切頂八面体は、長野県和田産の黄鉄鉱、愛知県振草鉱山の黄鉄鉱にも似る。
●正八面体は長野県産の黄鉄鉱に、不完全ながらも見られる。
●長野県産の黄鉄鉱の底面は正方形、その隣接面は正六角形で、切頂八面体と同じだ。

《結論》

立方体の８つの頂点を切り取ることで、４つの主な多面体が現れた。その多面体と同じ、あるいはそれに近い結晶が実際に存在していたため、仮説は成り立つのではないか。
ただし仮説は、「立方体」を完全形とすることが前提だ。「正八面体」を完全形とすると、結晶の成長方向は全く逆になる。正八面体の頂点を切り取れば「切頂八面体」となり、斜辺の中点を結んだ線で切り取れば「立方体」が現れる。つまり立方体の中に正八面体があり、正八面体の中に立方体がある。このように、一方の立体の性質が、もう一方の立体の性質と対をなしている関係を「双対（そうつい）」という。
　今回の実験で、立方体と正八面体の関係は一方向の変化・成長ではなく、どちらにもなり得る関係と言えることが分かった。関係のない多面体と思われた切頂立方体や立方八面体、切頂八面体も、その根底には密接な関係が含まれる。

【実験２】立方体の切頂と切り口の関係

　実験１ではさまざまな立体が現れ、その立体には正方形や正三角形、六角形、八角形などの“面”が現れた。切り取る位置と切り口との関係を調べる。

《結果》

立方体のスチロールの１頂点を、３辺の1/4、2/4、3/4…12/4の位置で順に切り取り、切り口の形状を見た。

追加実験①：頂点から6/4（２つ目の辺の中点）の位置で切ると、立方体が２等分されることを確かめた。

追加実験②：立方体４個をそれぞれ追加実験①と同様に２等分し、できた計８個のパーツを組み合わせると切頂八面体になった。その体積は、切頂八面体の全体が接して入る立方体の体積の1/2になることが分かった。切頂八面体は、正方形の面をそれぞれ対角線で切り、８等分すれば、４つの立方体を作ることができる。

【実験３】多面体の変化とその方法

　黄鉄鉱の結晶には、まだまだ複雑な多面体が存在する。立方八面体を基に、多面体の変化とその関係性を調べる。

【実験３-１】

立方八面体を、各辺の中点を結んだ線で切り取った。「菱形立方八面体」ができた。辺の数48、頂点の数24、面の数26で、オイラーの定理が成り立つ。

【実験３-２】

立方八面体を、各辺１/3の位置で切り取った。「大菱形立方八面体」ができた。辺の数72、頂点の数48、面の数26で、オイラーの定理が成り立つ。

【実験３-３】

立方八面体を、各面の中心を結んだ線で切り取る。①正三角形を上面に、正方形の中心を結んで切除→中心部に正八面体が残った。②正方形を上面に、正三角形の中心を結んで切除→立方体が残った。

《分かったこと》

まさに立方八面体は、立方体と正八面体の中間に位置する存在だ。立体の変化の鍵は、頂点を切ること、面の中心を結んで切ることだ。

「プラトンの立体」作りに挑戦

　立方体（正六面体）と正八面体は「プラトンの立体」と呼ばれる５つの正多面体の２つだ。他の正四面体、正十二面体、正二十面体も作った。実験の過程で現れた切頂立方体、立方八面体、切頂八面体、菱形立方八面体、大菱形立方八面体は、13種類ある「アルキメデスの立体」のうちの５つだ。

まとめと考察

　双対の関係にある立方体と正八面体、正十二面体と正二十面体の２組は、それぞれ辺の数が同じで、頂点と面の数が対になっている。正十二面体は正八面体の中に含まれ、正十二面体は正二十面体の中に隠れている。正八面体は立方体の中にあり、立方体も正八面体の中にある。つまり５種類のプラトンの立体は、すべて立方体の中に含まれるのだ。しかし頂点、辺、面の数は全て偶数であり、奇数がないのはなぜか。双対はプラトンの立体以外には存在しないのか。疑問の方が多くなった。